Xác suất toàn phần là công thức tính xác suất của một biến cố khi kết quả phụ thuộc vào nhiều tình huống khác nhau — mỗi tình huống có xác suất riêng và ảnh hưởng riêng đến biến cố cần tính. Thay vì tính trực tiếp, ta chia nhỏ bài toán thành các trường hợp đầy đủ, tính xác suất từng trường hợp rồi tổng hợp lại theo trọng số.
Đây là một trong những công thức trọng tâm trong hệ thống công thức xác suất lớp 12 — có mối liên hệ chặt chẽ với xác suất có điều kiện và là nền tảng trực tiếp để hiểu công thức Bayes.
Bài viết trình bày toàn diện về xác suất toàn phần: định nghĩa, công thức, điều kiện áp dụng, cách vẽ sơ đồ cây, các dạng bài thường gặp và bài tập minh họa có lời giải chi tiết — từ mức cơ bản đến nâng cao, phù hợp cả học sinh lớp 12 và sinh viên đại học.
1. Xác suất toàn phần là gì?
Là công thức dùng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua nhiều “trường hợp” khác nhau.
Muốn tính $P(B)$, ta chia thành các trường hợp $A_1, A_2, \dots$, rồi tính xác suất $B$ trong từng trường hợp và cộng lại.
2. Điều kiện áp dụng
Để dùng được công thức, các biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ phải:
2.1 Xung khắc đôi một
- Không xảy ra đồng thời
- Ví dụ: “nam” và “nữ”
2.2 Bao phủ toàn bộ không gian mẫu
- Hợp lại bằng không gian mẫu: $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \Omega$
👉 Nếu thiếu một trường hợp thì kết quả sẽ sai.
3. Công thức xác suất toàn phần
Công thức tổng quát:
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \dots + P(A_n)P(B|A_n)$
Giải thích
- $P(A_i)$: xác suất xảy ra trường hợp $A_i$
- $P(B|A_i)$: xác suất xảy ra $B$ khi đã biết $A_i$ xảy ra
- $P(A_i)P(B|A_i)$: xác suất đi theo nhánh $A_i$ rồi xảy ra $B$
Tổng các nhánh chính là $P(B)$.
4. Quy trình làm bài
Bước 1: Chia trường hợp
Xác định các biến cố $A_1, A_2, \dots$
Bước 2: Tính xác suất từng trường hợp
Tính $P(A_1), P(A_2), \dots$
Bước 3: Tính xác suất có điều kiện
Tính $P(B|A_1), P(B|A_2), \dots$
Bước 4: Áp dụng công thức
$P(B)$
5. Dấu hiệu nhận biết trong đề thi
Các dấu hiệu thường gặp:
- Bài toán chia thành nhiều nhóm
- Có cụm “nếu… thì…”
- Xuất hiện xác suất có điều kiện như $P(B|A)$
👉 Khi thấy các dấu hiệu này, nghĩ ngay đến xác suất toàn phần.
6. Bài tập vận dụng
Câu 1. [ Sở GD&ĐT Hải Phòng] Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn, trong đó có $65%$ bóng đèn là màu trắng và $35%$ bóng đèn là màu đỏ, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn màu trắng có tỉ lệ hỏng là $2%$ và các bóng đèn màu xanh có tỉ lệ hỏng là $3%$. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên $1$ bóng đèn từ cửa hàng đó. Xét các biến cố:
$A:$“Khách hàng chọn được bóng màu trắng”;
$B:$“Khách hàng chọn được bóng không hỏng”;
Khi đó:
a) $P\left( \overline{A} \right)=0,65$.
b) $P\left( B|A \right)=0,02$.
c) $P\left( B|\overline{A} \right)=0,3$.
d) $P\left( B \right)=0,9765$.
Lời giải
a) Sai
Ta có $P\left( A \right)=0,65$ nên $P\left( \overline{A} \right)=0,35$.
b) Sai
Vì các bóng đèn màu trắng có tỉ lệ hỏng là $2%$ nên $P\left( \overline{B}|A \right)=0,02$, suy ra $P\left( B|A \right)=1-P\left( \overline{B}|A \right)=1-0,02=0,98$.
c) Sai
Vì các bóng đèn màu xanh có tỉ lệ hỏng là $3%$ nên $P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=0,03$, suy ra $P\left( B|\overline{A} \right)=1-P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)=1-0,03=0,97$.
d) Đúng
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
$P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$ $ = 0,65.0,98 + 0,35.0,97$ $ = 0,9765$
Câu 2. [ THPT Khoa Học Giáo Dục Hà Nội lần 2] Cho hai biến cố $A,B$ thỏa mãn $P(\overline{B})=0,2;P\left( \left. A \right|B \right)=0,5;P\left( \left. A \right|\overline{B} \right)=0,3$. Khi đó, $P(A)$ bằng
Lời giải
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
$P(A) = P\left( {\left. A \right|B} \right).P(B) + P\left( {\left. A \right|\overline B } \right).P(\overline B )$
$P(A) = 0,5.(1 – 0,2) + 0,3.0,2 = 0,46$
Câu 3. [Chuyên ĐHKHTN HCM lần 2] Một nhà máy có hai phân xưởng I và II tương ứng làm ra $40%$ và $60%$ sản phẩm của nhà máy. Biết rằng tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là $1%$ và $2%.$ Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc phân xưởng I.
Lời giải
Đáp án: 0,25
Gọi ${{A}_{1}}:$ sản phẩm thuộc phân xưởng I,
${{A}_{2}}:$ sản phẩm thuộc phân xưởng II,
$B:$ sản phẩm được chọn là phế phẩm.
Từ giả thiết ta có: $P\left( {{A_1}} \right) = 0,4;\,$ $P\left( {{A_2}} \right) = 0,6;$ $P\left( {B|{A_1}} \right) = 0,01;\,$ $P\left( {B|{A_2}} \right) = 0,02$
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có $P\left( B \right)$ $ = P\left( {B|{A_1}} \right)\,P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B|{A_2}} \right)\,P\left( {{A_2}} \right)$ $ = 0,016.$
Xác suất phế phẩm được chọn thuộc phân xưởng I là
$P\left( {{A}_{1}}|B \right)=\frac{P\left( B|{{A}_{1}} \right)\,P\left( {{A}_{1}} \right)}{P\left( B \right)}=0,25$.
Câu 4. [ THPT Nguyễn Quốc Trinh – Hà Nội 2025 ] Khi điều tra sức khỏe nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có 40% người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong số những người bị bệnh tiểu đường là 70% , trong những người không bị bệnh tiểu đường là 25% . Chọn ngẫu nhiên một người cao tuổi để kiểm tra sức khỏe.
a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4.
b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường là 0,7.
c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là 0,75.
d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao 0,8 .
Lời giải
Gọi $A$ là biến cố “ Chọn được người cao tuổi bị tiểu đường”.
$B$ là biến cố “ Chọn được người cao tuổi bị huyết áp cao”.
a)Khi đó $P\left( A \right)=0,4$ nên a) đúng.
b)Theo giả thiết ta có $P\left( B|A \right)=0,7$ nên b) đúng
c)Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là $P\left( B|\overline{A} \right)=0,25$ nên c) sai.
d)Ta có $P\left( A \right)=0,4\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=0,6$.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$ $ = 0,4.0,7 + 0,6.0,25$ $ = 0,43$ nên d) sai.
Câu 5. [THPT Nguyễn Gia Thiều – Hà Nội 2025] Cho hai biến cố $M$, $N$ với $0<P\left( N \right)<1$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây
A. $P\left( M \right)=P\left( \overline{N} \right).P\left( M|N \right)+P\left( N \right).P\left( M|\overline{N} \right)$.
B. $P\left( M \right)=P\left( N \right).P\left( M|N \right)-P\left( \overline{N} \right).P\left( M|\overline{N} \right)$.
C. $P\left( M \right)=P\left( \overline{N} \right).P\left( M|\overline{N} \right)-P\left( N \right).P\left( M|N \right)$.
D. $P\left( M \right)=P\left( N \right).P\left( M|N \right)+P\left( \overline{N} \right).P\left( M|\overline{N} \right)$
Lời giải
Chọn D
Ta có công thức xác suất toàn phần$P\left( M \right)=P\left( N \right).P\left( M|N \right)+P\left( \overline{N} \right).P\left( M|\overline{N} \right)$.
Câu 6. [THPT Bình Sơn – Vĩnh Phúc – Lần 1 năm 2025] Tất cả các học sinh của trường Hạnh Phúc đều tham gia câu lạc bộ bóng chuyền hoặc bóng rổ, mỗi học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ. Có $60%$học sinh của trường tham gia câu lạc bộ bóng chuyền và $40%$học sinh của trường tham gia câu lạc bộ bóng rổ. Số học sinh nữ chiếm $65%$trong câu lạc bộ bóng chuyền và $25%$trong câu lạc bộ bóng rổ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được học sinh nữ là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 0,49
Xét các biến cố: A: “ Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ bóng chuyền”;
B: “ Chọn được học sinh nữ”.
Theo giả thiết, ta có: $P\left( A \right) = 0,6\,;$ $P\left( {\overline A } \right) = 0,4;\,$ $P\left( {B|A} \right) = 0,65;P\left( {B|\overline A } \right) = 0,25$ .
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được học sinh nữ là:
$P\left( B \right) = P\left( A \right)\,.\,P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).\,P\left( {B|\overline A } \right)$ $ = 0,6\,.\,0,65 + 0,4\,.\,0,25$ $ = 0,49$
Skip to PDF content