Xác suất là một trong những chủ đề trọng tâm của chương trình Toán 12, với hệ thống công thức xác suất đa dạng và có mối liên hệ chặt chẽ với nhau — từ xác suất cổ điển, xác suất có điều kiện cho đến công thức nhân, công thức cộng và công thức Bayes. Việc nắm vững từng công thức, hiểu rõ điều kiện áp dụng và phân biệt được khi nào dùng công thức nào là yêu cầu căn bản để giải quyết chính xác các bài toán xác suất trong chương trình. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức xác suất lớp 12, được trình bày có hệ thống kèm theo ví dụ minh họa cụ thể cho từng công thức và bài tập áp dụng để người học tự luyện tập và kiểm tra mức độ hiểu. File PDF toàn bộ nội dung cũng được cung cấp ở cuối bài để người học có thể tải về sử dụng thuận tiện trong quá trình ôn tập.
1. Công thức xác suất quan trọng
1.1 Xác suất của biến cố
Giả sử một phép thử có không gian mẫu $\Omega$ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và $A$ là một biến cố:
$\overline{A}$ là biến cố đối của $A$.
1.2. Xác suất có điều kiện.
Cho hai biến cố $A$ và $B$. Xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được gọi là xác suất của $A$ với điều kiện $B$, kí hiệu $P(A|B)$.
Nếu $P(B) > 0$ thì
Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B) > 0$ thì $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$
Cho $A$ và $B$ là hai biến cố với $0 < P(A) < 1;\ 0 < P(B) < 1$. Khi đó, $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi
1.3 Xác suất toàn phần – Công thức Bayes
a) Xác suất toàn phần
Cho hai biến cố $A, B$ với $0 < P(B) < 1$, ta có
b) Công thức Bayes
Với hai biến cố $A, B$ mà $P(A) > 0;\ P(B) > 0$ ta có
1.4 Sử dụng sơ đồ cây
a) Xác suất có điều kiện
b) Xác suất toàn phần
c) Công thức Bayes
2. Bài tập Minh Hoạ
Câu 1.[THPT Hai Bà Trưng – Vĩnh Phúc – Lần 1 năm 2025] Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Tính xác xuất để hai lần tung đều xuất hiện mặt ngửa.’
Lời giải
Chọn A
Gọi không gian mẫu là $\Omega $ ta có $n\left( \Omega \right)=2.2=4$.Gọi $A$ là biến cố “Cả hai lần tung đều xuất hiện mặt ngửa. Khi đó $A=\left\{ NN \right\}\Rightarrow n\left( A \right)=1$.Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $\text{P}\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{1}{4}$.
Câu 2. [THPT Hai Bà Trưng – Vĩnh Phúc – Lần 1 năm 2025] Truờng THPT A có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: $0,68$
Xét các biến cố: $A$: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc”;
$B$: “Chọn được học sinh biết chơi đàn guitar”.
Khi đó, $P\left( A \right) = 0,2;\,$ $\,P\left( {\overline A } \right) = 0,8;\,$ $\,P\left( {B|A} \right) = 0,85;\,$ $\,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,1$.
Theo công thức xác suất toàn phần ta có:
$P\left( B \right)$ $ = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$ $ = 0,2.0,85 + 0,8.0,1$ $ = 0,25$
Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, biết học sinh đó chơi được đàn guitar, là:
$P\left( {A|B} \right)$ $ = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B\backslash A} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ $ = \frac{{0,2.0,85}}{{0,25}} = 0,68$
Câu 3. [THPT Bình Sơn – Vĩnh Phúc – Lần 1 năm 2025] Tất cả các học sinh của trường Hạnh Phúc đều tham gia câu lạc bộ bóng chuyền hoặc bóng rổ, mỗi học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ. Có $60%$học sinh của trường tham gia câu lạc bộ bóng chuyền và $40%$học sinh của trường tham gia câu lạc bộ bóng rổ. Số học sinh nữ chiếm $65%$trong câu lạc bộ bóng chuyền và $25%$trong câu lạc bộ bóng rổ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được học sinh nữ là bao nhiêu?
Lời giải
Trả lời: 0,49
Xét các biến cố: A: “ Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ bóng chuyền”;
B: “ Chọn được học sinh nữ”.
Theo giả thiết, ta có: $P\left( A \right) = 0,6\,;$ $P\left( {\overline A } \right) = 0,4;\,$ $P\left( {B|A} \right) = 0,65;$ $P\left( {B|\overline A } \right) = 0,25$.
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất chọn được học sinh nữ là:
$P\left( B \right)$ $ = P\left( A \right)\,.\,P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).\,P\left( {B|\overline A } \right)$ $ = 0,6\,.\,0,65 + 0,4\,.\,0,25$ $ = 0,49$.
Câu 4. [THPT Lê Lợi Thanh Hoá 2025] Một nhóm gồm 3 học sinh lớp 10; 3 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngồi vào một hàng có 9 ghế, mỗi học sinh 1 ghế. Tính xác suất để 3 học sinh lớp 10 không ngồi 3 ghế liền nhau (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án : 0,92
Mỗi cách sắp xếp 9 học sinh ngồi vào hàng có 9 ghế theo một thứ tự là một hoán vị của 9 phần tử. Suy ra $n\left( \Omega \right)=9!$.
Gọi biến cố $H$: ‘‘3 học sinh lớp 10 không ngồi 3 ghế liền nhau’’.
Biến cố $\overline{H}$ : ‘‘3 học sinh lớp 10 ngồi 3 ghế liền nhau’’.
Mỗi phần tử của $\overline{H}$ được hình thành từ 3 công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn 3 ghế liền nhau từ hàng có 9 ghế, có 7 (cách).
Công đoạn 2: Sắp xếp 3 học sinh lớp 10 ngồi vào 3 ghế đã chọn theo một thứ tự, có $3!$ (cách).
Công đoạn 3: Sắp xếp 6 học sinh còn lại vào 6 ghế còn lại theo một thứ tự, có $6!$ (cách).
Suy ra, $n\left( \overline{H} \right)=7.3!.6!$. Từ đó, $P\left( \overline{H} \right)=\frac{n\left( \overline{H} \right)}{n\left( \Omega \right)}=\frac{7.3!.6!}{9!}=\frac{1}{12}$ .
Vậy $P\left( H \right)$ $ = 1 – P\left( {\overline H } \right)$ $ = 1 – \frac{1}{{12}} = \frac{{11}}{{12}}$ $ \approx 0,92$.
Câu 5. [THPT Vĩnh Yên – Vĩnh Phúc – Lần 1 năm 2025] Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,2%$ và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6%$những người không bị bệnh X lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Chọn ngẫu nhiên $1$ người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Xác suất người đó mắc bệnh X là bao nhiêu ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Lời giải
Đáp số: 0,03
Xét các biến cố :
$A:$ “Người được chọn mắc bệnh X”;
$B:$ “Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm Y”.
Khi đó, $P\left( A \right) = 0,002\,;\,$ $\,P\left( {\overline A } \right) = 1 – 0,002 = 0,998;$$P\left( B|A \right)=1;\,\,\,P\left( B|\overline{A} \right)=0,06.$
Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {A|B} \right)$ $ = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}$ $ = \frac{{0,002.1}}{{0,06188}} \approx 0,03.$
Skip to PDF content