Xác suất là một trong những chuyên đề thường xuất hiện ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT. Bộ tài liệu “Tuyển chọn câu xác suất chặn 10 năm 2026” tổng hợp những bài toán xác suất hay, có tính phân loại cao, giúp học sinh rèn luyện tư duy phân tích, kỹ năng xử lý dữ kiện và phương pháp giải nhanh hiệu quả. Các câu hỏi được chọn lọc theo nhiều dạng khác nhau, kèm lời giải chi tiết, dễ hiểu để học sinh dễ dàng tự học và ôn luyện.
Cuối bài viết có file PDF tải đề và lời giải chi tiết để thuận tiện cho việc học tập, in ấn và ôn thi.
Câu 1. [Đề thi thử trường MARIE CURIE 2026] Một nền tảng học trực tuyến tiến hành khảo sát nhu cầu học tập của người dùng. Kết quả cho thấy tất cả người dùng đều tham gia ít nhất một khóa học. Trong số đó, có 68% người dùng tham gia từ hai khóa trở lên, 37% người dùng tham gia khóa học tiếng Anh. Ngoài ra, trong nhóm người dùng tham gia từ hai khóa trở lên, có 29% người tham gia khóa tiếng Anh.
Gọi ${A}$ là biến cố “Người dùng tham gia từ hai khóa học trở lên”,
${B}$ là biến cố “Người dùng tham gia khóa học tiếng Anh”. Xét các khẳng định sau:
a) $P(\overline{A})=0,32$.
b) $P(B|A)=0,29$.
c) $P(AB)>0,2$.
d) Xác suất một người chỉ tham gia đúng một khóa học và không tham gia khóa tiếng Anh lớn hơn 0,15.
Giải
Gọi:
- ${A}$: “Người dùng tham gia từ hai khóa học trở lên”.
- ${B}$: “Người dùng tham gia khóa học tiếng Anh”.
Theo đề: $P(A)=0,68$.
$P(B)=0,37$.
$P(B|A)=0,29$.
Ý a)
Mệnh đề: $P(\overline{A})=0,32$.
Ta có: $P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,68=0,32$.
Vậy ý a) đúng.
Ý b)
Mệnh đề:
$P(B|A)=0,29$.
Đề bài cho trực tiếp: trong nhóm người dùng tham gia từ hai khóa trở lên, có 29% người tham gia khóa tiếng Anh.
Do đó: $P(B|A)=0,29$.
Vậy ý b) đúng.
Ý c)
Mệnh đề: $P(AB)>0,2$.
Ta có:
$P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)$.
$P(AB)=0,68\cdot 0,29=0,1972$.
Vì: $0,1972<0,2$, nên mệnh đề $P(AB)>0,2$ là sai.
Vậy ý c) sai.
Ý d)
Mệnh đề: Xác suất một người chỉ tham gia đúng một khóa học và không tham gia khóa tiếng Anh lớn hơn ${0,15}$.
Người chỉ tham gia đúng một khóa học tức là thuộc biến cố $\overline{A}$.
Không tham gia khóa tiếng Anh tức là thuộc biến cố $\overline{B}$.
Cần tính: $P(\overline{A},\overline{B})$.
Ta có: $P(\overline{A})=0,32$.
Lại có: $P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)$.
$P(\overline{A}B)=0,37-0,1972=0,1728$.
Suy ra: $P(\overline{A},\overline{B})=P(\overline{A})-P(\overline{A}B)$.
$P(\overline{A},\overline{B})=0,32-0,1728=0,1472$.
Vì: $0,1472<0,15$, nên mệnh đề “lớn hơn ${0,15}$” là sai.
Vậy ý d) sai.
Kết luận Câu 1: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.
Câu 2. [Đề thi thử trường MARIE CURIE 2026] Một máy ép thủy lực có hai động cơ A và B hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ A chạy tốt là 0,8. Xác suất để động cơ B chạy tốt là 0,75. Biết rằng máy chỉ hoạt động được nếu có ít nhất một động cơ chạy tốt. Tìm xác suất để máy ép thủy lực hoạt động.
Giải
Gọi:
- ${A}$: động cơ A chạy tốt,
- ${B}$: động cơ B chạy tốt.
Theo đề:
$P(A)=0,8$,
$P(B)=0,75$.
Hai động cơ hoạt động độc lập.
Máy hoạt động nếu có ít nhất một động cơ chạy tốt.
Vậy xác suất máy không hoạt động là xác suất cả hai động cơ đều hỏng:
$P(\overline{A},\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})$.
Ta có:
$P(\overline{A})=1-0,8=0,2$,
$P(\overline{B})=1-0,75=0,25$.
Suy ra:
$P(\overline{A},\overline{B})=0,2\cdot 0,25=0,05$.
Vậy xác suất máy hoạt động là:
$1-0,05=0,95$.
Đáp án: 0,95.
Câu 3. [Đề Thi Thử trường THPT Kim Liên 2026 lần 3] Một lô hàng điện tử gồm 2000 linh kiện, trong đó có 100 linh kiện bị lỗi phần cứng. Để tiết kiệm thời gian, nhà máy sử dụng một Robot kiểm định để phân loại sản phẩm. Robot này có đặc tính kỹ thuật như sau:
• Nếu linh kiện bị lỗi, Robot sẽ phát hiện và báo “lỗi” với xác suất ${0,98}$.
• Nếu linh kiện không bị lỗi, Robot sẽ phát hiện và báo “không lỗi” với xác suất ${0,95}$.
Chọn ngẫu nhiên một linh kiện từ lô hàng.
a) Xác suất để linh kiện được chọn là linh kiện không bị lỗi bằng ${0,9}$.
b) Xác suất để Robot báo linh kiện được chọn là “lỗi” bằng ${0,0965}$.
c) Nếu biết linh kiện được chọn bị lỗi, xác suất để Robot báo linh kiện đó “không lỗi” là ${0,2}$.
d) Trong số những linh kiện bị Robot báo là “lỗi”, xác suất để linh kiện đó thực chất là linh kiện không bị lỗi sẽ thấp hơn xác suất nó bị lỗi thực sự.
Giải
Lô hàng có 2000 linh kiện, trong đó có 100 linh kiện lỗi phần cứng.
Gọi:
- ${L}$: linh kiện bị lỗi.
- $\overline{L}$: linh kiện không bị lỗi.
- ${B}$: Robot báo “lỗi”.
Ta có:
$P(L)=\frac{100}{2000}=0,05$
$P(\overline{L})=0,95$
$P(B|L)=0,98$
$P(B|\overline{L})=1-0,95=0,05$
a) Sai
Xác suất để linh kiện được chọn không bị lỗi là: $P(\overline{L})=\frac{1900}{2000}=0,95$
Không phải ${0,9}$.
Mệnh đề sai.
b) Đúng
Theo công thức xác suất toàn phần:
$P(B)=P(L)P(B|L)+P(\overline{L})P(B|\overline{L})$
$P(B)=0,05\cdot 0,98+0,95\cdot 0,05$
$P(B)=0,049+0,0475=0,0965$
Mệnh đề đúng.
c) Sai
Nếu biết linh kiện được chọn bị lỗi, xác suất để Robot báo “không lỗi” là:
$1-0,98=0,02$
Không phải ${0,2}$.
Mệnh đề sai.
d) Đúng
Ta cần so sánh trong số các linh kiện bị Robot báo “lỗi”:
Xác suất linh kiện thực sự bị lỗi là:
$P(L|B)=\frac{P(L)P(B|L)}{P(B)}=\frac{0,049}{0,0965}$
Xác suất linh kiện thực chất không bị lỗi là:
$P(\overline{L}|B)=\frac{P(\overline{L})P(B|\overline{L})}{P(B)}=\frac{0,0475}{0,0965}$
Vì: $0,0475<0,049$
nên: $P(\overline{L}|B)<P(L|B)$
Vậy trong số những linh kiện bị Robot báo “lỗi”, xác suất để linh kiện đó thực chất không bị lỗi thấp hơn xác suất nó bị lỗi thực sự.
Mệnh đề đúng.
Kết luận Câu 4: S – Đ – S – Đ.
Câu 4. [Đề Thi Thử trường THPT Kim Liên 2026 lần 3] Một ứng viên tham gia quy trình tuyển dụng gồm ba vòng phỏng vấn liên tiếp. Quy định của quy trình là ứng viên chỉ được đi tiếp vào vòng sau nếu vượt qua vòng trước đó và sẽ bị loại ngay lập tức nếu không đạt ở bất kỳ vòng nào. Giả sử xác suất để ứng viên này vượt qua các vòng như sau:
Xác suất vượt qua vòng 1 là ${0,7}$.
Nếu đã vượt qua vòng 1, xác suất để vượt qua vòng 2 là ${0,6}$.
Nếu đã vượt qua cả vòng 1 và vòng 2, xác suất vượt qua vòng 3 là ${0,5}$.
Biết rằng ứng viên này cuối cùng đã không trúng tuyển (bị loại). Tính xác suất để ứng viên đó bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3 (tức là đã vượt qua được ít nhất vòng 1), (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
GIẢI
Gọi:
- $A_1$: ứng viên vượt qua vòng 1.
- $A_2$: ứng viên vượt qua vòng 2.
- $A_3$: ứng viên vượt qua vòng 3.
Ta có:
$P(A_1)=0,7$
$P(A_2|A_1)=0,6$
$P(A_3|A_1A_2)=0,5$
Xác suất ứng viên bị loại ở vòng 1 là:
$P_1=1-0,7=0,3$
Xác suất ứng viên bị loại ở vòng 2 là:
$P_2=0,7(1-0,6)=0,7\cdot 0,4=0,28$
Xác suất ứng viên bị loại ở vòng 3 là:
$P_3=0,7\cdot 0,6(1-0,5)=0,21$
Xác suất ứng viên trúng tuyển là:
$P=0,7\cdot 0,6\cdot 0,5=0,21$
Do đó xác suất ứng viên cuối cùng không trúng tuyển là:
$1-0,21=0,79$
Cần tính xác suất ứng viên bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3, biết rằng ứng viên không trúng tuyển.
Xác suất bị loại ở vòng 2 hoặc vòng 3 là: $0,28+0,21=0,49$
Vậy xác suất cần tìm là: $\frac{0,49}{0,79}\approx 0,62025$
Làm tròn đến hàng phần trăm: ${0,62}$
Đáp án: 0,62.
Câu 5. [Đề thi thử Toán 2026 sở GD Nghệ An lần 3] Một cửa hàng có ${200}$ hạt giống hoa hướng dương và ${300}$ hạt giống hoa cúc. Tỉ lệ nảy mầm của hạt giống hoa hướng dương là 90%, của hạt giống hoa cúc là 80%. Một chuyên gia nông nghiệp chọn ngẫu nhiên một hạt giống. Chuyên gia sử dụng máy quét tia X để dự đoán khả năng nảy mầm của hạt giống. Nếu hạt giống có khả năng nảy mầm, máy quét báo “Đạt” với xác suất 90%. Nếu hạt giống không có khả năng này nảy mầm, máy quét báo “Đạt” với xác suất 10%.
a) Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống hoa cúc là ${0,6}$.
b) Biết rằng chuyên gia đã chọn được hạt giống hoa cúc, xác suất để hạt giống đó không nảy mầm là ${0,1}$.
c) Xác suất chuyên gia chọn được hạt nảy mầm là ${0,84}$.
d) Một hạt giống sau khi quét kiểm tra, máy đã báo “Đạt”. Xác suất để hạt giống đó thực sự không nảy mầm nhỏ hơn ${0,02}$.
Giải
Có ${200}$ hạt giống hoa hướng dương và ${300}$ hạt giống hoa cúc.
Tổng số hạt giống là: $200+300=500$.
Gọi:
- ${H}$: chọn được hạt giống hoa hướng dương;
- ${C}$: chọn được hạt giống hoa cúc;
- ${N}$: hạt giống nảy mầm;
- ${D}$: máy báo “Đạt”.
Ta có: $P(H)=\frac{200}{500}=0,4$, $P(C)=\frac{300}{500}=0,6$.
Tỉ lệ nảy mầm: $P(N\mid H)=0,9$, $P(N\mid C)=0,8$.
Máy quét: $P(D\mid N)=0,9$, $P(D\mid \overline{N})=0,1$.
a) Xác suất chuyên gia chọn được hạt giống hoa cúc là ${0,6}$.
Ta có: $P(C)=\frac{300}{500}=0,6$.
a) Đúng.
b) Biết rằng chuyên gia đã chọn được hạt giống hoa cúc, xác suất để hạt giống đó không nảy mầm là ${0,1}$.
Với hạt giống hoa cúc, tỉ lệ nảy mầm là 80%.
Do đó xác suất không nảy mầm là: $1-0,8=0,2$.
Không phải ${0,1}$.
b) Sai.
c) Xác suất chuyên gia chọn được hạt nảy mầm là ${0,84}$.
Ta có: $P(N)=P(H)P(N\mid H)+P(C)P(N\mid C)$.
Suy ra: $P(N)=0,4\cdot 0,9+0,6\cdot 0,8=0,36+0,48=0,84$.
c) Đúng.
d) Một hạt giống sau khi quét kiểm tra, máy đã báo “Đạt”. Xác suất để hạt giống đó thực sự không nảy mầm nhỏ hơn ${0,02}$.
Ta có: $P(\overline{N})=1-0,84=0,16$.
Xác suất máy báo “Đạt” là:
$P(D)=P(D\mid N)P(N)+P(D\mid \overline{N})P(\overline{N})$.
$P(D)=0,9\cdot 0,84+0,1\cdot 0,16=0,756+0,016=0,772$.
Theo công thức xác suất có điều kiện:
$P(\overline{N}\mid D)=\frac{P(D\mid \overline{N})P(\overline{N})}{P(D)}=\frac{0,1\cdot 0,16}{0,772}=\frac{0,016}{0,772}\approx 0,0207$.
Vì $0,0207>0,02$ nên mệnh đề đã cho sai.
d) Sai.
Skip to PDF content