Xác suất có điều kiện là nền tảng của nhiều bài toán xác suất thực tế — từ chẩn đoán y tế, kiểm tra chất lượng sản xuất đến dự báo thời tiết. Hiểu đúng công thức P(A|B) không chỉ giúp giải được bài tập mà còn mở ra cách tư duy xác suất trong các tình huống có thông tin bổ sung.
Bài viết này là tài liệu tổng hợp toàn diện về xác suất có điều kiện lớp 12 — bổ sung và mở rộng cho phần lý thuyết đã trình bày trong công thức xác suất lớp 12: từ định nghĩa, công thức, điều kiện áp dụng, cách nhận dạng dạng bài trong đề thi, đến toàn bộ bài tập từ cơ bản đến nâng cao có lời giải chi tiết.
Dù bạn đang ôn thi tốt nghiệp THPT hay muốn hiểu sâu hơn về xác suất có điều kiện để học tiếp ở bậc đại học — đây là bài viết phù hợp làm điểm xuất phát.
1. Xác suất có điều kiện là gì?
1.1 Khái niệm cơ bản
Là xác suất xảy ra của một biến cố khi ta đã biết trước một biến cố khác đã xảy ra.
👉 Hiểu theo cách học sinh lớp 12:
Khi biết biến cố $A$ đã xảy ra, ta chỉ xét các khả năng nằm trong $A$. Khi đó xác suất của $B$ được tính trong phạm vi này.
1.2 Ý nghĩa thực tế
Xác suất có điều kiện thường xuất hiện trong các bài toán:
- “Trong số những học sinh đã đỗ…”
- “Biết rằng sản phẩm được lấy từ máy A…”
👉 Đây là dạng bài rất phổ biến trong đề thi.
2. Công thức xác suất có điều kiện
2.1 Công thức tổng quát
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) > 0)$
2.2 Điều kiện áp dụng
- $P(A) > 0$
2.3 Giải thích các thành phần
- $P(B|A)$: xác suất của $B$ khi biết $A$ xảy ra
- $P(A \cap B)$: xác suất cả hai biến cố xảy ra
- $P(A)$: xác suất của điều kiện
👉 Khi biết $A$, không gian mẫu được thu hẹp lại thành $A$.
3. Bản chất của xác suất có điều kiện
3.1 Thu hẹp không gian mẫu
- Ban đầu: xét trên $\Omega$
- Khi có điều kiện $A$: chỉ xét trong $A$
3.2 So sánh nhanh
- Xác suất thường: $P(B)$
- Xác suất có điều kiện: $P(B|A)$
4. Các công thức quan trọng
4.1 Công thức nhân
$P(A \cap B) = P(A)P(B|A)$
4.2 Trường hợp độc lập
Nếu $A, B$ độc lập: $P(B|A) = P(B)$
4.3 Mở rộng nhiều biến cố
$P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B|A)P(C|A \cap B)$
5. Cách áp dụng – Quy trình giải bài
Bước 1: Xác định biến cố điều kiện
Xác định rõ $A$
Bước 2: Xác định giao
Tìm $A \cap B$
Bước 3: Áp dụng công thức
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
6. Dấu hiệu nhận biết trong đề thi
- “Biết rằng…”
- “Với điều kiện…”
- “Trong số…”
👉 Gặp các cụm này → nghĩ ngay đến $P(B|A)$
7. Bài Tập Minh Hoạ
Câu 1. Một hộp kín đựng 20 tấm thẻ giống hệt nhau đánh số từ 1 đến 20. Một người rút ngẫu nhiên ra một tấm thẻ từ trong hộp. Người đó được thông báo rằng thẻ rút ra mang số chẵn. Tính xác suất để người đó rút được thẻ số 10.
Lời giải
Gọi A là biến cố “Rút được thẻ số 10”, B là biến cố: “Rút được thẻ mang số chẵn”.
Khi đó, biến cố AB: “Rút được thẻ chẵn mang số 10”. Suy ra: \(n\left( {AB} \right) = 1 \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{1}{{20}}\)
Có 10 số chẵn từ 1 đến 20 nên \(n\left( B \right) = 10 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{10}}{{20}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{1}{{10}}\).
Câu 2. Cho \(P\left( A \right) = 0,2;P\left( B \right) = 0,51;P\left( {B|A} \right) = 0,8\). Tính \(P\left( {A|B} \right)\).
Lời giải
Sử dụng kiến thức về công thức tính xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B bất kì, với \(P\left( B \right) > 0\). Khi đó, \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\)
Lời giải
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,8}}{{0,51}} = \frac{{16}}{{51}}\)
Câu 3. Cho \(P\left( A \right) = 0,2;P\left( B \right) = 0,51;P\left( {B|A} \right) = 0,8\). Tính \(P\left( {A|B} \right)\).
Lời giải
Ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,2.0,8}}{{0,51}} = \frac{{16}}{{51}}\)
—
Câu 4. Một thư viện có 35% tổng số sách là sách khoa học, 14% tổng số sách là sách khoa học tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên một quyển sách của thư viện. Tính xác suất để quyển sách được chọn là sách khoa học tự nhiên, biết rằng đó là quyển sách về khoa học.
Lời giải
Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được sách khoa học tự nhiên” và \(B\) là biến cố “Chọn được sách khoa học”.
Biến cố \(AB\) là biến cố “Chọn được sách khoa học và khoa học tự nhiên”, tức là “chọn được sách khoa học tự nhiên”. Suy ra \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) = 0,14\). Ta cũng có \(P\left( B \right) = 0,35\). Suy ra \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,14}}{{0,35}} = 0,4\).
Vậy xác suất để sách được chọn là sách khoa học tự nhiên, biết đó là sách khoa học là 0,4.
Câu 5. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 nếu biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm.
Lời giải
Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất thì số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\)
Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10”, B là biến cố “ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”.
Khi đó biến cố AB là: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đó không nhỏ hơn 10 và ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”
Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố B là:
{(1; 5); (2; 5); (3; 5)(4; 5); (5; 5); (6; 5); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 6)} nên n(B)=11
Do đó, \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\)
Tập hợp các kết quả thuận lợi của biến cố AB là: \(\left\{ {\left( {5;5} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\) nên \(n\left( {AB} \right) = 3\). Do đó, \(P\left( {AB} \right) = \frac{3}{{36}}\). Vậy \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{3}{{11}}\)
Câu 6. Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\). Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
Lời giải
Gọi số kẹo trong túi là n (cái, \(n \in \mathbb{N}^*,n > 6\)), khi đó, số kẹo màu vàng trong túi là \(n – 6\) (cái).
Số cách chọn kẹo thứ nhất là n, số cách chọn kẹo thứ hai là \(n – 1\). Do đó, \(n\left( \Omega \right) = n\left( {n – 1} \right)\).
Gọi A là biến cố: “Lấy được viên kẹo thứ nhất màu cam”, B là biến cố: “Lấy được viên kẹo thứ hai màu cam”. Khi đó, biến cố AB là “Lấy được hai viên kẹo màu cam”.
Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{6.\left( {n – 1} \right)}}{{n\left( {n – 1} \right)}} = \frac{6}{n}\).
Vì lấy ra một cái kẹo màu cam ở lần thứ nhất nên trong túi còn lại \(n – 1\) cái kẹo, trong đó có 5 cái kẹo màu cam. Do đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{n – 1}}\).
Ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{n}.\frac{5}{{n – 1}} = \frac{{30}}{{n\left( {n – 1} \right)}}\).
Vì xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\) nên ta có:
$\frac{1}{3} = \frac{{30}}{{n\left( {n – 1} \right)}}$ $ \Rightarrow {n^2} – n – 90 = 0$ $ \Rightarrow \left( {n – 10} \right)\left( {n + 9} \right) = 0$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 10\left( {tm} \right)}\\ {n = – 9\left( {ktm} \right)} \end{array}} \right.$
Vậy trong túi có 10 cái kẹo.
Câu 7. Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) có \(P\left( A \right) = 0,4\); \(P\left( B \right) = 0,8\) và \(P\left( {A|\bar B} \right) = 0,5\). Tính \(P\left( {A\bar B} \right)\) và \(P\left( {A|B} \right)\).
Lời giải
Ta có \(P\left( {\bar B} \right) = 1 – P\left( B \right) = 1 – 0,8 = 0,2\).
Do \(P\left( {A|\bar B} \right) = \frac{{P\left( {A\bar B} \right)}}{{P\left( {\bar B} \right)}}\) nên \(P\left( {A\bar B} \right) = P\left( {A|\bar B} \right).P\left( {\bar B} \right) = 0,5.0,2 = 0,1\).
Ta có \(A\bar B\) và \(AB\) là các biến cố xung khắc và \(A\bar B \cup AB = A\) nên \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) – P\left( {A\bar B} \right) = 0,4 – 0,1 = 0,3\).
Suy ra \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,3}}{{0,8}} = \frac{{3}}{{8}}\).
Câu 8. [Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu] Điều tra tình hình mắc bệnh ung thư phổi của một vùng thấy tỉ lệ người hút thuốc lá và mắc bệnh là $15\text{ }\!\!%\!\!\text{ }$. Tỉ lệ người hút thuốc lá và không mắc bệnh là $25\text{ }\!\!%\!\!\text{ }$, tỉ lệ người không hút thuốc và không mắc bệnh là $50\text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ và $10\text{ }\!\!%\!\!\text{ }$ là người không hút thuốc nhưng mắc bệnh. Tỉ lệ mắc bệnh ung thư phổi giữa người hút thuốc lá và không hút thuốc lá là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi biến cố A: “Người hút thuốc”;
B: “Bị mắc bệnh ung thư phổi”.
Theo đề bài, ta có:
$P\left( {AB} \right) = 0,15;$ $P\left( {A\bar B} \right) = 0,25;$ $P\left( {\overline {AB} } \right) = 0,5;$ $P\left( {\bar AB} \right) = 0,1$
Suy ra $P\left( B \right)=P\left( AB \right)+P\left( \overline{A}B \right)=0,15+0,1=0,25$
Xác suất người đó hút thuốc lá biết họ mắc bệnh ung thư phổi là: $P\left( A\mid B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,15}{0,25}=0,6$
Xác suất người đó không hút thuốc lá biết người đó mắc bệnh ung thư phổi là
$P\left( \overline{A}\mid B \right)=\frac{P\left( \overline{A}B \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,1}{0,25}=0,4$
Vậy tỉ lệ mắc bệnh ung thư phổi giữa người hút thuốc là và không hút thuốc là $\frac{0,6}{0,4}=1,5$.
Xác suất có điều kiện là nền tảng trực tiếp để hiểu hai công thức quan trọng tiếp theo: xác suất toàn phần — dùng khi cần tính xác suất của một biến cố qua nhiều tình huống trung gian, và công thức Bayes — dùng khi cần tính ngược lại xác suất của nguyên nhân sau khi đã biết kết quả. Ba công thức này liên kết chặt chẽ và thường xuất hiện cùng nhau trong một bài toán.