Học công thức là bước đầu — nhưng thực sự hiểu xác suất có điều kiện là khi bạn nhận ra nó xuất hiện ở khắp nơi trong đời sống: bác sĩ tính xác suất bệnh nhân mắc bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính, nhà máy kiểm tra tỉ lệ sản phẩm lỗi từ từng dây chuyền, hay dự báo thời tiết ước tính khả năng mưa dựa trên dữ liệu đã quan sát.
Bài viết tổng hợp 22 bài toán thực tế xác suất có điều kiện lớp 12, phân theo 4 nhóm ngữ cảnh: y tế & xét nghiệm, sản xuất & kiểm tra chất lượng, thời tiết & dự báo, và tình huống đời sống thường ngày. Mỗi bài có lời giải chi tiết từng bước — giúp các em vừa luyện kỹ năng tính toán, vừa xây dựng trực giác toán học thực sự.
Câu 1. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Tính xác suất để lần đầu gieo được mặt 1 chấm, biết rằng tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: $0,67$
Không gian mẫu $\Omega =\left\{ \left( i;j \right):1\le i,j\le 6 \right\}\Rightarrow n\left( \Omega \right)=36$.
Trong đó cặp số $\left( i;j \right)$ thể hiện việc lần đầu gieo xuất hiện mặt $i$ chấm, lần sau gieo xuất hiện mặt $j$ chấm.
Gọi $\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$ là biến cố “Lần đầu gieo được mặt 1 chấm”
$3$là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo không vượt quá 3”
Ta có thể liệt kê, cụ thể:
$A=\left\{ \left( 1;1 \right),\left( 1;2 \right),\left( 1;3 \right),\left( 1;4 \right),\left( 1;5 \right),\left( 1;6 \right) \right\}$
$B=\left\{ \left( 1;1 \right),\left( 1;2 \right),\left( 2;1 \right) \right\}$
$A\cap B=\left\{ \left( 1;1 \right),\left( 1;2 \right) \right\}$
Suy ra: $P\left( B \right)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$; $P\left( A\cap B \right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.
Câu 2. Có hai hộp viên bi (I) và hộp viên bi (II). Hộp (I) có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Hộp (II) có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để lấy được viên bi đỏ. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Lời giải
Đáp án: $0,52$
Gọi $\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$ là biến cố chọn được hộp ( I)
Gọi $3$là biến cố chọn được hộp ( II)
Gọi $H$ là biến cố chọn được viên bi đỏ từ được hộp ( I) hoặc hộp (II)
Ta có $P(A)=\frac{1}{2},\,\,P(B)=\frac{1}{2}$
Xác suất để chọn viên bi đỏ từ hộp (I) là $P(H/A)=\frac{4}{9}$
Xác suất để chọn bi đỏ từ hộp (II) là $P(H/B)=\frac{6}{10}$
Xác suất để lấy được viên bi đỏ là $P((H\cap A)\cup (H\cap B))=P(H\cap A)+P(H\cap B)$
$=P(A).\,P(H/A)+P(B).\,P(H/B)$
$=\frac{1}{2}.\frac{4}{9}+\frac{1}{2}.\frac{6}{10}=\frac{47}{90}\approx 0,522$
Câu 3. Một bình đựng 50 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong đó có 30 viên bi xanh và 20 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: 0,41
Gọi A là biến cố: “Lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất”,
Gọi B là biến cố: “Lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai”.
ta cần tính xác suất $P\left( A\cap B \right)$
Theo công thức nhân xác suất $P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)$
Vì có 30 viên bi xanh trong tổng số 50 viên bi nên$P\left( A \right)=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$
Nếu A đã xảy ra, tức là một viên bi xanh đã được lấy ra ở lần thứ nhất, thì còn lại trong bình 49 viên bi trong đó số viên bi trắng là 20, do đó$P\left( B|A \right)=\frac{20}{49}$
Vậy xác suất cần tìm là$P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right).P\left( B|A \right)=\frac{3}{5}.\frac{20}{49}=\frac{12}{29}$
Câu 4. Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 4 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, Sau đó lại lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Xác suất các biến cố: A: “ Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ” là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b$.
Lời giải
Ta có sơ đồ hình cây
Vậy ta có: $P(A) = \frac{{16}}{{90}} = \frac{8}{{45}}$ $ \Rightarrow a = 8;\,b = 45$ $ \Rightarrow a + b = 53$.
Câu 5. Tỷ lệ phế phẩm của một công ty là $10%$. Trước khi đưa ra thị trường, các sản phẩm được kiểm tra bằng máy nhằm loại bỏ phế phẩm. Xác suất để máy nhận biết đúng chính phẩm là $95%$, nhận biết đúng phế phẩm là $90%$. Khi đó tỉ lệ phế phẩm của công ty trên thị trường bằng $\frac{a}{b}$($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b$
Lời giải
Trả lời: 253
Gọi $a$là phế phẩm kết luận đúng
$b$là phế phẩm kết luận sai
$c$là chính phẩm kết luận đúng
$d$là chính phẩm kết luận sai
Ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} a + b + c + d = 1\\ a + b = 0,1\\ \frac{a}{{a + b}} = 0,9\\ \frac{c}{{c + d}} = 0,95 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a + b + c + d = 1\\ a + b = 0,1\\ 0,1a – 0,9b = 0\\ 0,05c – 0,95d = 0 \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0,09\\ b = 0,01\\ c = 0,855\\ d = 0,045 \end{array} \right.$
Vậy tỉ lệ phế phẩm của công ty trên thị trường là ${{P}_{b}}=\frac{b}{b+c}=\frac{0,01}{0,01+0,855}=\frac{3}{250}$.
Câu 6. Một thành phố có ba loại phương tiện giao thông công cộng: xe buýt, tàu điện ngầm và taxi. Tỉ lệ sử dụng mỗi loại phương tiện đối với xe buýt $40%$, tàu điện ngầm $35%$, taxi $25%$. Tỉ lệ trễ giờ của xe buýt, tàu điện ngầm và taxi trong một tháng lần lượt là: $20%$, $10%$, $5%$. Anh Lộc là một người dân trong thành phố. Trong tháng đầu tiên, anh Lộc chọn một trong ba loại phương tiện trên để đi làm, sao cho xác suất chọn mỗi loại phương tiện đúng bằng tỉ lệ sử dụng phương tiện đó của người dân trong thành phố. Từ tháng thứ hai trở đi, cách anh Lộc chọn phương tiện đi làm phụ thuộc vào việc anh có bị trễ giờ trong tháng trước hay không: Nếu tháng trước anh Lộc không bị trễ giờ: Anh ấy tiếp tục sử dụng loại phương tiện mà anh đã đi trong tháng đó. Nếu tháng trước anh Lộc bị trễ giờ: Anh ấy sẽ chọn ngẫu nhiên một trong hai loại phương tiện còn lại để đi làm trong tháng tiếp theo, với xác suất chọn mỗi loại là $50%$. Xác suất để anh Lộc sử dụng taxi trong tháng thứ ba có dạng $\frac{a}{b}$ (là phân số tối giản). Tính $b-2a$?
Lời giải
Đáp án: 5354
Gọi ${{A}_{i}}$, ${{B}_{i}}$, ${{C}_{i}}$ lần lượt là các biến cố anh Lộc chọn xe buýt, tàu điện ngầm và taxi ở tháng thứ $i$ với $i=1,2,3$. $T$ là biến cố anh Lộc bị trễ.
Ta có $P\left( T|{{A}_{i}} \right)=0,2$, $P\left( T|{{B}_{i}} \right)=0,1$, $P\left( T|{{C}_{i}} \right)=0,05$.
Đặt $P\left( {{A}_{i}} \right)={{x}_{i}}$, $P\left( {{B}_{i}} \right)={{y}_{i}}$, $P\left( {{C}_{i}} \right)={{z}_{i}}$. Ta có sơ đồ cây như hình vẽ
Từ sơ đồ cây ta có
${{x}_{i+1}}=P\left( {{A}_{i+1}} \right)=1.0,8.{{x}_{i}}+0,5.0,1.{{y}_{i}}+0,5.0,05.{{z}_{i}}$
${{y}_{i+1}}=P\left( {{B}_{i+1}} \right)=0,5.0,2.{{x}_{i}}+1.0,9.{{y}_{i}}+0,5.0,05.{{z}_{i}}$
${{z}_{i+1}}=P\left( {{C}_{i+1}} \right)=0,5.0,2.{{x}_{i}}+0,5.0,1.{{y}_{i}}+1.0,95.{{z}_{i}}$
Mà ${{x}_{1}}=0,4$, ${{y}_{1}}=0,35$ và ${{z}_{1}}=0,25$.
Suy ra ${{x}_{2}}=0,34375$, ${{y}_{2}}=0,36125$, ${{z}_{2}}=0,295$.
Vậy ${{z}_{3}}=\frac{5323}{16000}\Rightarrow a=5323,b=16000\Rightarrow b-2a=5354$.
Câu 7. Một bình đựng $50$ viên bi có kích thước, chất liệu như nhau; trong đó có $30$ viên bi màu đen và $20$ viên bi màu trắng. Lấy ngẫu nhiên ra một viên bi không hoàn lại, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để lấy được một viên bi màu đen ở lần thứ nhất và một viên bi màu trắng ở lần thứ hai. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: 0,24.
Gọi $B$ là biến cố lấy được viên bi đen lần thứ nhất
Gọi $A$ là biến cố lấy được viên bi trắng lần thứ hai
Ta có $P\left( B \right)=\frac{3}{5}$ và $P\left( \overline{B} \right)=\frac{2}{5}$
$P\left( A|B \right)=\frac{20}{49}$, $P\left( \overline{A}|B \right)=\frac{29}{49}$, $P\left( A|\overline{B} \right)=\frac{19}{49}$, $P\left( \overline{A}|\overline{B} \right)=\frac{30}{49}$
Ta có biến cố $A.B$: lấy được một viên bi màu đen ở lần thứ nhất và một viên bi màu trắng ở lần thứ hai: $P\left( A.B \right)=P\left( B \right).P\left( A|B \right)=\frac{3}{5}.\frac{20}{49}=\frac{12}{49}\approx 0,24$.
Câu 8. Một nhà máy sản xuất pin điện thoại có $2$ dây chuyền sản xuất. Dây chuyền I tạo ra $65%$sản phẩm của toàn nhà máy; dây chuyền II tạo ra $35%$sản phẩm của toàn nhà máy. Trong số các sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền I có $3%$ sản phẩm bị lỗi, trong số các sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền II có $2%$ sản phẩm bị lỗi. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy, gọi xác suất để sản phẩm đó là sản phẩm bị lỗi và được sản xuất từ dây chuyền I bằng $P$. Tính $1000P$.
Lời giải
Đáp án: 195.
Gọi $A$ là biến cố: ” Sản phẩm đó được sản xuất từ dây chuyền I “;
$B$ là biến cố: “Sản phẩm đó bị lỗi”.
$P\left( A \right) = 0,65$
$P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right) = 1 – 0,65 = 0,35$
$P\left( B\mid A \right)$ là xác suất để sản phẩm bị lỗi biết rằng đó là sản phẩm của dây chuyền I
$\Rightarrow P\left( B\mid A \right)=0,03$.
Ta cần tính $P=P\left( AB \right)$. Theo công thức nhân xác suất ta có: $P=P\left( AB \right)=P\left( A \right)\cdot P\left( B\mid A \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ =0}\text{,65}\text{.0}\text{,3 = 0}\text{,195}$.
$1000P=195$.
Câu 9. Hộp 1 chứa 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Hộp 2 chứa 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). An lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp 1 rồi bỏ vào hộp 2, sau đó Bình lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp 2. Tính xác suất để 3 viên bi An chuyển từ hộp 1 sang có đúng 2 màu, biết 3 viên bi Bình lấy ra có đủ 3 màu (làm tròn kết quả tới hàng phần trăm).
Lời giải
Đáp án: 0,65
Gọi A là biến cố: 3 viên bi An chuyển từ hộp 1 sang có đúng 2 màu;
B là biến cố: 3 viên bi Bình lấy ra có đủ 3 màu, khi đó ta cần tính $P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}$. Gọi x, y, z là số bi màu đỏ, xanh, vàng lần lượt mà An lấy, thì xác suất An lấy số bi tương ứng là $\frac{C_{3}^{x}.C_{4}^{y}.C_{5}^{z}}{C_{12}^{3}}$.
Gọi m, n, p lần lượt là số bi đỏ, xanh, vàng ở hộp 2 sau khi An chuyển, thì xác suất Bình lấy được 3 bi đủ 3 màu là $\frac{m.n.p}{C_{18}^{3}}$
<div class=”box-dep”>Sau khi hiểu bài toán thực tế, luyện tiếp với 22 câu trắc nghiệm trả lời ngắn xác suất có điều kiện để quen với dạng bài thi.</div>
Skip to PDF content